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多様体入門 (数学選書 (5))

関数解析 共立数学講座 (15)

トポロジーへの誘い―多様体と次元をめぐって (幾何学をみる)

はじめよう位相空間

群・環・体入門

リーマン幾何学への素晴らしい入門書　　（2004-12-07）
多様体に関する基礎を習得した後、リーマン幾何学を本格的に学習する場合、本書は最適なテキストになると思う。

本書の構成は、最初の２つの章が多様体とリーマン幾何の基本概念のまとめ（復習）であり、それに続く４つの章が本論である。特に、ヤコビ場の比較定理を中心として、その曲率と位相への応用が本書の主題である。ラウチに始まる「比較定理」が、著者自身の研究を踏まえた形で統一的な立場から論じられ、その主要結果が最後の２つの章で応用されるという美しい構成になっている。

本書の最大の魅力は、体系的に記述された内容の豊富さにあると思う。例えば、微分幾何学の概説書として定評がある「多様体の微分幾何学」（丹野著、実教出版）の後半「展望の部」に述べられている多くの事実に対し、その詳しい証明を本書の中に見出すことが出来る。以下に少し例を挙げるが、これだけでも本書の豊富な内容を窺い知ることができると思う。

① 完備単連結リーマン多様体に関するde Rhamの分解定理（3章§6；フロベニウスの定理とホロノミー群の美しい応用例である）
② コンパクトリーマン多様体上の閉測地線の存在定理（単連結でない場合と単連結の場合とに分けて証明されている）
③ 非負リッチ曲率を持つ完備リーマン多様体が直線を含む場合のToponogov-Cheeger-Gromollの分解定理（5章§3）

この様に豊富な内容を持つ本書は、じっくりと取り組む価値がある素晴らしい良書である。本書を最後まで読み通されれば、更にレベルの高い微分幾何学の諸分野を続けて勉強してみたいと思われるに違いない。